Μαθηματικά, Επιχειρησιακή Έρευνα, Στατιστική και Οικονομικά (MORSE) MMorse

The University of Warwick - Πανεπιστήμιο του Warwick

Πολλά προβλήματα στα μαθηματικά και τις επιστήμες επιλύονται με αναγωγή σε ένα σύστημα ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων σε έναν αριθμό μεταβλητών. Ακόμη και για προβλήματα που δεν μπορούν να επιλυθούν με αυτόν τον τρόπο, είναι συχνά δυνατό να ληφθεί μια προσεγγιστική λύση με την επίλυση ενός συστήματος ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων, δίνοντας την "καλύτερη δυνατή γραμμική προσέγγιση''.

Η εστίαση αυτής της ενότητας εστιάζεται κυρίως στην οικονομική θεωρία, αλλά θα εξεταστούν επίσης εφαρμογές των σχετικών θεωριών στον "πραγματικό κόσμο", υπό την επιφύλαξη χρονικών περιορισμών. Η ενότητα καλύπτει πτυχές της μικροοικονομικής και της μακροοικονομικής. Η µικροοικονοµική ασχολείται µε την οικονοµική συµπεριφορά των µεµονωµένων καταναλωτών και των παραγωγικών επιχειρήσεων και την αλληλεπίδρασή τους στις αγορές αγαθών, υπηρεσιών και συντελεστών παραγωγής. Η μακροοικονομική, από την άλλη πλευρά, ασχολείται με τις συνολικές οικονομικές μεταβλητές ή τη λειτουργία της εθνικής οικονομίας στο σύνολό της, όπως το Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν, η ανεργία, ο πληθωρισμός και τα επιτόκια, καθώς και με τις κυβερνητικές οικονομικές πολιτικές που επηρεάζουν αυτές τις μεταβλητές.

Αυτή η ενότητα αποτελεί μια εισαγωγή στη στατιστική σκέψη και την εξαγωγή συμπερασμάτων. Θα μάθετε πώς οι έννοιες που γνωρίσατε από τις Πιθανότητες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή ενός στατιστικού μοντέλου - μιας συνεκτικής εξήγησης για τα δεδομένα. Θα είστε σε θέση να προτείνετε κατάλληλα μοντέλα για ορισμένα απλά σύνολα δεδομένων και στην πορεία θα ανακαλύψετε πώς μια συνάρτηση που ονομάζεται πιθανότητα παίζει βασικό ρόλο στα θεμέλια της στατιστικής συμπερασματολογίας. Θα εισαχθείτε επίσης στις θεμελιώδεις ιδέες της παλινδρόμησης. Χρησιμοποιώντας το πακέτο λογισμικού R θα εξοικειωθείτε με τον αγωγό στατιστικής ανάλυσης: διερευνητική ανάλυση δεδομένων, διαμόρφωση ενός μοντέλου, αξιολόγηση της προσαρμογής του και οπτικοποίηση και επικοινωνία των αποτελεσμάτων. Η ενότητα σας προετοιμάζει επίσης για μια πιο εμπεριστατωμένη ματιά στη Μαθηματική Στατιστική στο δεύτερο έτος.

Η επιχειρησιακή έρευνα ασχολείται με προηγμένες αναλυτικές μεθόδους για την υποστήριξη της λήψης αποφάσεων, για παράδειγμα για την κατανομή πόρων, τη δρομολόγηση ή τον προγραμματισμό. Ένα συνηθισμένο πρόβλημα στη λήψη αποφάσεων είναι η εύρεση μιας βέλτιστης λύσης που υπόκειται σε ορισμένους περιορισμούς. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός Ι σας εισάγει στις θεωρητικές και πρακτικές πτυχές του γραμμικού προγραμματισμού, μιας μαθηματικής προσέγγισης τέτοιων προβλημάτων βελτιστοποίησης.

Οι πιθανότητες είναι ένα θεμελιώδες μάθημα που θα σας εισαγάγει τόσο στις σημαντικές έννοιες των πιθανοτήτων όσο και στις βασικές έννοιες του μαθηματικού φορμαλισμού και της επίλυσης προβλημάτων. Θέλετε να σκέφτεστε σαν μαθηματικός; Αυτή η ενότητα είναι για εσάς. Θα μάθετε πώς να εκφράζετε μαθηματικές έννοιες με σαφήνεια και ακρίβεια και πώς να κατασκευάζετε αυστηρά μαθηματικά επιχειρήματα μέσω παραδειγμάτων από τις πιθανότητες, ενισχύοντας τις δεξιότητές σας στη μαθηματική και λογική σκέψη. Θα αναπτύξετε επίσης την ικανότητά σας να υπολογίζετε χρησιμοποιώντας πιθανότητες και προσδοκίες, πειραματιζόμενοι με τυχαία αποτελέσματα μέσω της έννοιας των γεγονότων και της πιθανότητάς τους. Θα μάθετε μεθόδους καταμέτρησης (τύπος συμπερίληψης-αποκλεισμού και διωνυμικοί συντελεστές) και θα μελετήσετε θεωρητικά θέματα, όπως η υπό συνθήκη πιθανότητα και το θεώρημα του Bayes.

Αυτή η ενότητα συνεχίζει από την ενότητα Πιθανότητες 1, η οποία σας προετοιμάζει να διερευνήσετε τη θεωρία πιθανοτήτων με περισσότερες λεπτομέρειες εδώ. Τώρα θα εξετάσετε παραδείγματα τόσο διακριτών όσο και συνεχών χώρων πιθανοτήτων. Θα εξετάσετε εξονυχιστικά σημαντικές οικογένειες κατανομών και την κατανομή τυχαίων μεταβλητών και το φως που αυτό ρίχνει στις ιδιότητες της προσδοκίας. Θα εξετάσετε τη μέση τιμή, τη διακύμανση και τη συνδιακύμανση της κατανομής, μέσω των ανισοτήτων Chebyshev και Cauchy-Schwarz, καθώς και την έννοια της υπό συνθήκη προσδοκίας. Η ενότητα παρέχει σημαντικό υπόβαθρο για μεταγενέστερες σπουδές σε προχωρημένες πιθανότητες, στατιστική μοντελοποίηση και άλλους τομείς πιθανής εξειδίκευσης, όπως τα μαθηματικά οικονομικά.

Η δύναμη και ο πλούτος των μαθηματικών βρίσκεται στις αποδείξεις τους. Τα πανεπιστημιακά μαθηματικά εισάγουν σταδιακά όλο και πιο αφηρημένες ιδέες και δομές και απαιτούν όλο και περισσότερες αποδείξεις, μέχρις ότου το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου σας να ασχολείστε με την κατανόηση αποδείξεων και τη δημιουργία των δικών σας. Η εκμάθηση της αντιμετώπισης της αφαίρεσης και των αποδείξεων απαιτεί χρόνο. Αυτή η ενότητα θα γεφυρώσει το χάσμα μεταξύ σχολικών και πανεπιστημιακών μαθηματικών, οδηγώντας σας από συγκεκριμένες τεχνικές όπου η έμφαση δίνεται στον υπολογισμό, και σταδιακά προς την αφαίρεση και την απόδειξη.

Η Μαθηματική Ανάλυση είναι η καρδιά των σύγχρονων Μαθηματικών. Ο Λογισμός συνήθως σημαίνει Ανάλυση, εστιάζοντας στους υπολογισμούς και όχι στην απόδειξη θεωρημάτων. Το αντικείμενο της Ανάλυσης αναπτύσσεται με έμφαση στους υπολογισμούς.

Αυτή η ενότητα διεξάγεται παράλληλα με τη Μαθηματική Στατιστική και σας δίνει πρακτική εμπειρία στη χρήση ορισμένων από τις ιδέες που είδατε εκεί. Το επίκεντρο αυτής της ενότητας είναι η έννοια του γραμμικού μοντέλου, η οποία σας επιτρέπει να διαμορφώσετε ένα μοντέλο παλινδρόμησης για να εξηγήσετε τη σχέση μεταξύ των μεταβλητών πρόβλεψης και των μεταβλητών απόκρισης. Θα ανακαλύψετε βασικές ιδέες της παλινδρόμησης (όπως τα κατάλοιπα, η διάγνωση, οι δειγματοληπτικές κατανομές, οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων, η ανάλυση διακύμανσης, τα t-tests και τα F-tests) και θα αναλύσετε εκτιμητές για μια ποικιλία προβλημάτων παλινδρόμησης. Αυτή η ενότητα έχει έντονο πρακτικό στοιχείο και θα χρησιμοποιήσετε το πακέτο λογισμικού R για να αναλύσετε σύνολα δεδομένων, συμπεριλαμβανομένης της διερευνητικής ανάλυσης δεδομένων, της προσαρμογής και αξιολόγησης γραμμικών μοντέλων και της επικοινωνίας των αποτελεσμάτων σας. Το μάθημα θα σας προετοιμάσει για πολλά μαθήματα του τελευταίου έτους, ιδίως για το μάθημα του τρίτου έτους που καλύπτει τα (ακόμη πιο ευέλικτα) γενικευμένα γραμμικά μοντέλα.

Η έννοια της στοχαστικής (που εξελίσσεται τυχαία με την πάροδο του χρόνου) διαδικασίας είναι ένα χρήσιμο και εκπληκτικά όμορφο μαθηματικό εργαλείο στα οικονομικά, τη βιολογία, την ψυχολογία και την επιχειρησιακή έρευνα. Μελετώντας τις ιδέες που διέπουν τις διαδοχικές στοχαστικές διαδικασίες, θα μάθετε για τις αλυσίδες Markov, οι οποίες χρησιμοποιούν την υπό συνθήκη πιθανότητα για μια ευρέως εφαρμόσιμη οικογένεια τυχαίων διαδικασιών, τους τυχαίους περιπάτους - τα δομικά στοιχεία για την κατασκευή άλλων διαδικασιών, καθώς και το ότι είναι σημαντικές από μόνες τους - και τη θεωρία ανανέωσης, για διαδικασίες που "ξεκινούν από την αρχή". Η κατανόησή σας θα επεκταθεί στις έννοιες της συμπεριφοράς, συμπεριλαμβανομένης της παροδικότητας, της επανάληψης και της ισορροπίας, και θα εφαρμόσετε αυτές τις ιδέες σε προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Μετά τις μαθηματικές ενότητες του πρώτου έτους, θα αποκτήσετε τεχνογνωσία στην εφαρμογή μαθηματικών τεχνικών στις πιθανότητες και τη στατιστική. Για παράδειγμα, θα είστε σε θέση να προσαρμόσετε τις τεχνικές του λογισμού για τον υπολογισμό των προσδοκιών και των υπό συνθήκη κατανομών που αφορούν ένα τυχαίο διάνυσμα, και θα συναντήσετε τη θεωρία πινάκων που απαιτείται για την κατανόηση της δομής της συνδιακύμανσης. Θα αποκτήσετε επίσης γνώσεις στη γραμμική άλγεβρα που διέπει την παλινδρόμηση (όπως οι χώροι εσωτερικών γινομένων και η ορθογωνοποίηση). Μέχρι το τέλος του μαθήματός σας, αναμένετε να εφαρμόζετε τον πολυμεταβλητό λογισμό (ολοκλήρωση, υπολογισμός όγκων κάτω από την επιφάνεια, μεταβλητοί τύποι και το θεώρημα του Fubini), να χρησιμοποιείτε μερικές παραγώγους, να εξάγετε κρίσιμα σημεία και ακρότατα και να κατανοείτε τη βελτιστοποίηση με περιορισμούς. Θα ασχοληθείτε επίσης με τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα, τη διαγωνοποίηση, τις ορθογώνιες βάσεις και την ορθοκανονικοποίηση.

Εάν έχετε ολοκληρώσει το μάθημα "Πιθανότητες για Μαθηματική Στατιστική", αυτό το μάθημα του δεύτερου εξαμήνου είναι το επόμενο βήμα σας, όπου θα μελετήσετε λεπτομερώς τις βασικές ιδέες πίσω από τη στατιστική συμπερασματολογία, με έμφαση στη στατιστική μοντελοποίηση και τις πιθανότητες. Θα μάθετε πώς να εκτιμάτε τις παραμέτρους ενός στατιστικού μοντέλου μέσω της θεωρίας των εκτιμητών και πώς να επιλέγετε μεταξύ ανταγωνιστικών εξηγήσεων των δεδομένων σας μέσω της επιλογής μοντέλου. Αυτό σας οδηγεί σε σημαντικές έννοιες όπως ο έλεγχος υποθέσεων, οι τιμές p και τα διαστήματα εμπιστοσύνης, ιδέες που χρησιμοποιούνται ευρέως σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους. Θα ανακαλύψετε επίσης τις ιδέες που διέπουν την Μπεϋζιανή στατιστική, μια ευέλικτη και διαισθητική προσέγγιση στην εξαγωγή συμπερασμάτων, η οποία είναι ιδιαίτερα προσιτή στις σύγχρονες υπολογιστικές τεχνικές. Συνολικά, αυτή η ενότητα θα σας προσφέρει μια πολύ σταθερή βάση για τη μελλοντική σας ενασχόληση με την προηγμένη στατιστική - στα τελευταία έτη σπουδών σας και μετά.

Αυτή η ενότητα βασίζεται στην ενότητα Μαθηματικός Προγραμματισμός 1 του πρώτου έτους. Θα μάθετε πώς να εντοπίζετε τα επιχειρηματικά προβλήματα που μπορούν να μοντελοποιηθούν με τη χρήση τεχνικών βελτιστοποίησης και να τα διατυπώνετε σε κατάλληλη μαθηματική μορφή. Στη συνέχεια, θα εφαρμόσετε τεχνικές βελτιστοποίησης για την επίλυση των προβλημάτων χρησιμοποιώντας λογιστικά φύλλα και άλλο κατάλληλο λογισμικό και θα μάθετε πώς να αναφέρετε τη σημασία της βέλτιστης λύσης με τρόπο κατάλληλο για ένα επιχειρηματικό πλαίσιο.

Η έννοια της στοχαστικής (που εξελίσσεται τυχαία με την πάροδο του χρόνου) διαδικασίας είναι ένα χρήσιμο και εκπληκτικά όμορφο μαθηματικό εργαλείο στα οικονομικά, τη βιολογία, την ψυχολογία και την επιχειρησιακή έρευνα. Μελετώντας τις ιδέες που διέπουν τις διαδοχικές στοχαστικές διαδικασίες, θα μάθετε για τις αλυσίδες Markov, οι οποίες χρησιμοποιούν την υπό συνθήκη πιθανότητα για μια ευρέως εφαρμόσιμη οικογένεια τυχαίων διαδικασιών, τους τυχαίους περιπάτους - τα δομικά στοιχεία για την κατασκευή άλλων διαδικασιών, καθώς και το ότι είναι σημαντικές από μόνες τους - και τη θεωρία ανανέωσης, για διαδικασίες που "ξεκινούν από την αρχή". Η κατανόησή σας θα επεκταθεί στις έννοιες της συμπεριφοράς, συμπεριλαμβανομένης της παροδικότητας, της επανάληψης και της ισορροπίας, και θα εφαρμόσετε αυτές τις ιδέες σε προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Η έννοια της στοχαστικής (που εξελίσσεται τυχαία με την πάροδο του χρόνου) διαδικασίας είναι ένα χρήσιμο και εκπληκτικά όμορφο μαθηματικό εργαλείο στα οικονομικά, τη βιολογία, την ψυχολογία και την επιχειρησιακή έρευνα. Μελετώντας τις ιδέες που διέπουν τις διαδοχικές στοχαστικές διαδικασίες, θα μάθετε για τις αλυσίδες Markov, οι οποίες χρησιμοποιούν την υπό συνθήκη πιθανότητα για μια ευρέως εφαρμόσιμη οικογένεια τυχαίων διαδικασιών, τους τυχαίους περιπάτους - τα δομικά στοιχεία για την κατασκευή άλλων διαδικασιών, καθώς και το ότι είναι σημαντικές από μόνες τους - και τη θεωρία ανανέωσης, για διαδικασίες που "ξεκινούν από την αρχή". Η κατανόησή σας θα επεκταθεί στις έννοιες της συμπεριφοράς, συμπεριλαμβανομένης της παροδικότητας, της επανάληψης και της ισορροπίας, και θα εφαρμόσετε αυτές τις ιδέες σε προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Εάν έχετε ήδη ολοκληρώσει το μάθημα των πιθανοτήτων στο πρώτο έτος, σε αυτή την ενότητα θα έχετε την ευκαιρία να αποκτήσετε τις γνώσεις που χρειάζεστε για να μελετήσετε πιο προχωρημένα θέματα στις πιθανότητες και να κατανοήσετε τη γέφυρα μεταξύ πιθανοτήτων και στατιστικής. Θα μελετήσετε σε μεγαλύτερο βάθος τις διακριτές, συνεχείς και πολυμεταβλητές κατανομές και θα μάθετε επίσης για τον τύπο μετασχηματισμού του Ιακωβιανού, τις υπό συνθήκη και πολυμεταβλητές κατανομές του Γκαουσιανού και τις συναφείς κατανομές Chi-squared, Student και Fisher. Θα καλύψετε επίσης πιο προχωρημένα θέματα, όπως συναρτήσεις δημιουργίας ροπών για τυχαίες μεταβλητές, έννοιες της σύγκλισης, καθώς και το Νόμο των Μεγάλων Αριθμών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα.

Η έννοια της στοχαστικής (που εξελίσσεται τυχαία με την πάροδο του χρόνου) διαδικασίας είναι ένα χρήσιμο και εκπληκτικά όμορφο μαθηματικό εργαλείο στα οικονομικά, τη βιολογία, την ψυχολογία και την επιχειρησιακή έρευνα. Μελετώντας τις ιδέες που διέπουν τις διαδοχικές στοχαστικές διαδικασίες, θα μάθετε για τις αλυσίδες Markov, οι οποίες χρησιμοποιούν την υπό συνθήκη πιθανότητα για μια ευρέως εφαρμόσιμη οικογένεια τυχαίων διαδικασιών, τους τυχαίους περιπάτους - τα δομικά στοιχεία για την κατασκευή άλλων διαδικασιών, καθώς και το ότι είναι σημαντικές από μόνες τους - και τη θεωρία ανανέωσης, για διαδικασίες που "ξεκινούν από την αρχή". Η κατανόησή σας θα επεκταθεί στις έννοιες της συμπεριφοράς, συμπεριλαμβανομένης της παροδικότητας, της επανάληψης και της ισορροπίας, και θα εφαρμόσετε αυτές τις ιδέες σε προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων.